Как найти радиус вписанной окружности в квадрат

Радиусы описанной и вписанной окружностей в квадрат

Окружность вписанная в квадрат

Чтобы формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат r была правильно рассчитана, необходимо изначально вспомнить какими свойствами обладает данная фигура. У квадрата:

  • все углы прямые, то есть, равны 90°;
  • все стороны, как и углы, равны;
  • диагонали равны, точкой пересечения бьются строго пополам и пересекаются под углом 90°.

При этом вписанная в выпуклый многоугольник окружность обязательно касается всех его сторон. Обозначим квадрат ABCD, точку пресечения его диагоналей O. Как видно на рисунке 1, пересечение линий АС и ВD дают равнобедренный треугольник АОВ, в котором стороны АО=ОВ, углы ОАВ=АВО=45°, а угол АОВ=90°. Тогда радиусом вписанной окружности в квадрат будет не что иное, как высота ОЕ полученного равнобедренного треугольника АОВ.

Если предположить, что сторона квадрата равна у, то формула нахождения радиуса вписанной окружности в квадрат будет выглядеть следующим образом:

Объяснение: в равнобедренном треугольнике АОВ высота ОЕ или радиус r делят основание АВ пополам (свойства), образовывая при этом прямоугольный треугольник с прямым угол ОЕВ. В маленьком треугольнике ЕВО основание ОВ образует со сторонами ОЕ и ЕВ углы по 45°. Значит треугольник ЕВО еще и равнобедренный. Стороны ОЕ и ЕВ равны.

Окружность описанная около квадрата

Вокруг квадрата также можно описать окружность. В этом случае каждая вершина фигуры будет касаться окружности. Следующая формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата будет находиться еще проще. В этом случае R описанной окружности будет равен половине диагонали квадрата. В буквенном виде формула выглядит так (рисунок 2):

Объяснение: после проведения диагоналей ABCD образовались два одинаковых прямоугольных треугольника АВС = CDA. Рассмотрим один из них. В треугольнике CAD:

  • угол CDA=90°;
  • стороны AD=CD. Признак равнобедренного треугольника;
  • угол DAC равен ACD. Они равны по 45°.

Чтобы найти в этом прямоугольном треугольнике гипотенузу АС, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:
, отсюда
Поскольку окружность касается вершин квадрата, а точка пересечения его диагоналей является центром описанной окружности (свойства), то отрезок ОС и будет радиусом окружности. Он является половинкой гипотенузы. Это утверждение вытекает из свойств равнобедренного треугольника или свойств диагоналей квадрата. Потому формула нахождения радиуса описанной окружности около квадрата в нашем случае имеет следующий вид:

Поскольку AD=CD, а свойства квадратного корня позволяют вынести одно из подкоренных выражений, тогда формула приобретает вид:

Нахождения величины радиуса описанной окружности около квадрата при известной величине радиуса вписанной окружности.

  • треугольник ОСЕ – равнобедренный и прямоугольный;
  • ОЕ=ЕС=;
  • ОЕС=90°;
  • ЕОС=ОСЕ=45°;

Найти: ОС=?
Решение: в данном случае задачу можно решить, воспользовавшись либо теоремой Пифагора, либо формулой для R. Второй случай будет проще, поскольку формула для R выведена из теоремы.

Геометрические фигуры. Квадрат.

Квадрат — правильный четырёхугольник. У квадрата все углы и стороны одинаковы.

Квадраты различаются лишь длиной стороны, а все 4 угла прямые и равны 90°.

Квадратом может стать параллелограмм, ромб либо прямоугольник, когда у них одинаковые длины диагоналей, сторон и равные углы.

Свойства квадрата.

– у всех 4-х сторон квадрата одинаковая длина, т.е. стороны квадрата равны:

– противолежащие стороны квадрата параллельны:

– каждый уг ол квадрата прямой:

– сумма углов квадрата равна 360°:

– каждая диагональ квадрата имеет такую же длину, как и другая:

– каждая из диагоналей квадрата делит квадрат на 2 одинаковые симметричные фигуры.

– угол пересечения диагоналей квадрата равен 90°, пересекая друг друга, диагонали делятся на две равные части:

AC┴BD;AO = BO = CO = DO = d/2

– точку пересечения диагоналей называют центр квадрата и она оказывается центром вписанной и описанной окружностей.

– все диагонали делят угол квадрата на две равные части, таким образом, они оказываются биссектрисами углов квадрата:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD

– диагонали делят квадрат на 4 одинаковых треугольника, кроме того, полученные треугольники в одно время и равнобедренные и прямоугольные:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Диагональ квадрата.

Диагональю квадрата является всякий отрезок, который соединяет 2-е вершины противолежащих углов квадрата.

Диагональ всякого квадрата больше стороны этого квадрата в √2 раз.

Формулы для определения длины диагонали квадрата:

1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:

2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:

3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:

4. Сумма углов квадрата = 360°:

5. Диагонали квадрата одной длины:

6. Все диагонали квадрата делят квадрат на 2-е одинаковые фигуры, которые симметричны:

7. Угол пересечения диагоналей квадрата равен 90°, пересекая друг друга, диагонали делятся на две равные части:

8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:

9. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:

R – радиус вписанной окружности;

D – диаметр вписанной окружности;

d – диагональ квадрата.

10. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:

R – радиус описанной окружности;

D – диаметр описанной окружности;

11. Формула диагонали квадрата через линию, которая выходит из угла на середину стороны квадрата:

C – линия, которая выходит из угла на середину стороны квадрата;

Вписанный круг в квадрат – это круг, примыкающий к серединам сторон квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус вписанной окружности – сторона квадрата (половина).

Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в π/4 раза.

Круг, описанный вокруг квадрата – это круг, который проходит через 4-ре вершины квадрата и который имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата больше радиуса вписанной окружности в √2 раз.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен 1/2 диагонали.

Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.

Все формулы радиуса вписанной окружности

Радиус вписанной окружности в шестиугольник

a– сторона шестиугольника

Радиус вписанной окружности в шестиугольник, (r):

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник

a– сторона многоугольника

N– количество сторон многоугольника

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник, (r):

Радиус вписанной окружности в ромб

r – радиус вписанной окружности

a– сторона ромба

D, d– диагонали

h– высота ромба

Формула радиуса вписанной окружности в ромб, (r):

Радиус вписанной окружности в квадрат

a – сторона квадрата

Радиус вписанной окружности в квадрат (r):

Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

с – нижнее основание

b – верхнее основание

a – боковые стороны

h – высота

Радиус вписанной окружности равнобочной трапеции (r):

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

a,b– катеты треугольника

с– гипотенуза

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник (r):

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

a, b – стороны треугольника

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник (r):

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

a – сторона треугольника

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник (r):

Радиус вписанной окружности в треугольник

a,b, c– стороны треугольника

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

Радиус вписанной окружности в треугольник (r):

|следующая лекция ==>
Культурно-свободный тест интеллекта Р.Кеттелла|Признаки и процедуры банкротства

Дата добавления: 2015-06-04 ; Просмотров: 855 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Геометрия. Урок 5. Задания. Часть 1.

№1. Окружность с радиусом 39 вписана в квадрат. Найдите площадь квадрата.

Решение:

Проведем радиусы O A и O B к точка касания окружности с квадратом.

Отрезок A B равен стороне квадрата.

x = A B = 39 + 39 = 78

S □ = x 2 = 78 2 = 6084

№2. Отрезок A B = 72 касается окружности радиуса 54 с центорм O в точке B . Окружность пересекает отрезок A O в точке D . Найдите A D .

Решение:

A B – касательная к окружности в точке B .

O B – радиус окружности, проведенный к точке касания B .

Значит O B ⊥ A B .

Рассмотрим △ O B A , он прямоугольный.

Применим теорему Пифагора:

O A 2 = O B 2 + B A 2

O A 2 = 54 2 + 72 2

O A 2 = 2916 + 5184

O A = ± 8100 = [ − 90 не подходит 90 подходит

№3. На отрезке C D выбрана точка C так, что A C = 48 и B C = 2 . Построена окружность с центром A , проходящая через C . Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.

Решение:

B D – касательная к окружности в точке D .

A D – радиус окружности, проведенный к точке касания D .

Значит A D ⊥ B D .

Рассмотрим △ A B D , он прямоугольный.

Применим теорему Пифагора:

B D 2 + A D 2 = A B 2

x 2 + 48 2 = 50 2

x 2 = 50 2 − 48 2

x 2 = 2500 − 2304 = 196 x = ± 196 = [ − 14 не подходит 14 подходит

№4. Точка O – центр окружности, ∠ A O B = 84 ° (см. рисунок). Найдите величину угла ∠ A C B .

Читайте также:  Как написать заявление по уходу за ребенком

Решение:

∠ A O B – центральный. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

∪ A B = ∠ A O B = 84 °

∠ A C B – вписанный. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

∠ A C B = ∪ A B 2 = 84 ° 2 = 42 °

№5. Центральный угол ∠ A O B опирается на хорду A B длиной 6 . При этом угол ∠ A O B равен 60 ° . Найдите радиус окружности.

Решение:

Рассмотрим △ A O B , он равнобедренный, так как O A = O B = R .

Значит ∠ O B A = ∠ O A B = 60 ° .

Сумма углов в треугольнике равна 180 ° , составим уравнение:

α + 60 ° + 60 ° = 180 °

α = 180 ° − 120 ° = 60 °

Все три угла треугольника равны 60 ° , значит △ A O B равносторонний.

A O = O B = A B = 6

№6. В окружности с центром в точке O проведены диаметры A D и B C , угол ∠ O C D равен 30 ° . Найдите величину угла ∠ A O B .

Решение:

1 способ:

Рассмотрим △ A O B и △ C O D . Они равны между собой по двум сторонам и углу между ними:

∠ C O D = ∠ A O B (вертикальные)

△ A O B = △ C O D ⇒ ∠ O C D = ∠ P A B = 30 °

2 способ:

∠ B C D и ∠ D A B опираются на одну дугу ∪ B D .

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

∠ O C D = ∠ P A B = 30 °

№7. Найдите величину (в градусах) вписанного угла α , опирающегося на хорду A B , равную радиусу окружности.

Решение:

Рассмотрим △ A O B . Он равносторонний, так как все три стороны равны R . В равностороннем треугольнике все углы равны 60 ° .

∠ A O B – центральный, опирается на дугу ∪ A B . Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается, значит ∪ A B = 60 ° .

∠ A C B – вписанный, опирается на дугу ∪ A B . Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

α = ∪ A B 2 = 60 ° 2 = 30 °

№8. Радиус круга равен 1 . Найдите его площадь, деленную на π .

Решение:

S ○ = π R 2 = π ⋅ 1 2 = π

В ответе просят указать площадь, деленную на π .

№9. Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 3 , а угол сектора равен 120 ° . В ответе укажите площадь, деленную на π .

Решение:

S α = π R 2 360 ° ⋅ α

S 120 ° = π ⋅ 3 2 360 ° 3 ⋅ 120 ° = 9 π 3 = 3 π

В ответе просят указать площадь, деленную на π .

S 120 ° π = 3 π π = 3

№10. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11 . Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14 .

Решение:

Пусть каждая из дуг имеет градусную меру:

Три дуги в сумме образую окружность. Градусная мера всей окружности 360 ° .

3 x + 4 x + 11 x = 360 °

Угол ∠ B O C – центральный, он равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

∠ B O C = 3 x = 3 ⋅ 20 ° = 60 °

Рассмотрим △ B O C .

B O = B C = R , значит △ B O C равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

∠ O B C = ∠ O C B = α

Сумма углов в треугольнике равна 180 ° . Найдем величину угла α .

Все углы в △ A B C равны 60 ° , значит он равносторонний.

O B = B C = B C = 14

№11. Отрезки A B и C D являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды C D если A B = 18, C D = 24, a расстояние от центра окружности до хорды A B равно 12.

Решение:

Отрезки O E и O F перпендикулярны хордам A B и C D Значит точки E и F делят хорды пополам.

Рассмотрим △ A E O , он прямоугольный.

Найдём по теореме Пифагора отрезок O A , который является также радиусом окружности.

O A 2 = A E 2 + E O 2

O A 2 = 9 2 + 12 2

O A = ± 225 = [ − 15 не подходит 15 подходит

Рассмотрим △ C O F , он прямоугольный.

Найдем по теореме Пифагора искомый отрезок O F :

Мой секрет

R радиус вписанной окружности. Как найти радиус вписанной окружности? Радиус вписанной в квадрат окружности

Радиус – это отрезок, который соединяет любую точку на окружности с ее центром. Это одна из самых важных характеристик данной фигуры, поскольку на ее основе можно вычислить все другие параметры. Если знать, как найти радиус окружности, то можно рассчитать ее диаметр, длину, а также площадь. В том случае, когда данная фигура вписана или описана вокруг другой, то можно решить еще целый ряд задач. Сегодня мы разберем основные формулы и особенности их применения.

Известные величины

Если знать, как найти радиус окружности, который обычно обозначают буквой R, то его можно вычислить по одной характеристике. К таким величинам относят:

  • длину окружности (C);
  • диаметр (D) – отрезок (вернее, хорда), который проходит через центральную точку;
  • площадь (S) – пространство, которое ограничено данной фигурой.

По длине окружности

Если в задаче известна величина C, то R = С / (2 * П). Эта формула является производной. Если мы знаем, что из себя представляет длина окружности, то ее уже не нужно запоминать. Предположим, что в задаче C = 20 м. Как найти радиус окружности в этом случае? Просто подставляем известную величину в вышеприведенную формулу. Отметим, что в таких задачах всегда подразумевается знание числа П. Для удобства расчетов примем его значение за 3,14. Решение в этом случае выглядит следующим образом: записываем, какие величины даны, выводим формулу и проводим вычисления. В ответе пишем, что радиус равен 20 / (2 * 3,14) = 3,19 м. Важно не забыть о том, что мы считали, и упомянуть название единиц измерения.

По диаметру

Сразу подчеркнем, что это самый простой вид задач, в которых спрашивается о том, как найти радиус окружности. Если такой пример попался вам на контрольной, то можете быть спокойны. Тут даже не нужен калькулятор! Как мы уже говорили, диаметр – это отрезок или, правильнее сказать, хорда, которая проходит через центр. При этом все точки окружности равноудалены. Поэтому данная хорда состоит из двух половинок. Каждая из них является радиусом, что следует из его определения как отрезка, который соединяет точку на окружности и ее центр. Если в задаче известен диаметр, то для нахождения радиуса нужно просто разделить эту величину на два. Формула выглядит следующим образом: R = D / 2. Например, если диаметр в задаче равен 10 м, то радиус – 5 метров.

По площади круга

Этот тип задач обычно называют самым сложным. Это связано в первую очередь с незнанием формулы. Если знать, как найти радиус окружности в этом случае, то остальное – дело техники. В калькуляторе только нужно заранее найти значок вычисления квадратного корня. Площадь круга – это произведение числа П и радиуса, умноженного на самого себя. Формула выглядит следующим образом: S = П * R 2 . Обособив радиус на одной из сторон уравнения, можно с легкость решить задачу. Он будет равен квадратному корню из частного от деления площади на число П. Если S = 10 м, то R = 1,78 метров. Как и в предыдущих задачах, важно не забыть об используемых единицах измерения.

Как найти радиус описанной окружности

Предположим, что a, b, c – это стороны треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус описанной вокруг него окружности. Для этого сначала нужно найти полупериметр треугольника. Чтобы было легче для восприятия, обозначим его маленькой буквой p. Он будет равен половине суммы сторон. Его формула: p = (a + b + c) / 2.

Также вычислим произведение длин сторон. Для удобства обозначим его буквой S. Формула радиуса описанной окружности будет выглядеть так: R = S / (4 * √(p * (p – a) * (p – b) * (p – c)).

Рассмотрим пример задачи. У нас есть окружность, описанная вокруг треугольника. Длины ее сторон составляют 5, 6 и 7 см. Сначала вычисляем полупериметр. В нашей задаче он будет равен 9 сантиметрам. Теперь вычислим произведение длин сторон – 210. Подставляем результаты промежуточных расчетов в формулу и узнаем результат. Радиус описанной окружности равен 3,57 сантиметра. Записываем ответ, не забывая о единицах измерения.

Как найти радиус вписанной окружности

Предположим, что a, b, c – длины сторон треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус вписанной в него окружности. Сначала нужно найти его полупериметр. Для облегчения понимания обозначим его маленькой буквой p. Формула его вычисления выглядит следующим образом: p = (a + b + c) / 2. Этот тип задачи несколько проще, чем предыдущий, поэтому больше не нужно никаких промежуточных расчетов.

Радиус вписанной окружности вычисляется по следующей формуле: R = √((p – a) * (p – b) * (p – c) / p). Рассмотрим это на конкретном примере. Предположим, в задаче описан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. В него вписана окружность, радиус которой и нужно найти. Сначала находим полупериметр. В нашей задаче он будет равен 11 см. Теперь подставляем его в основную формулу. Радиус окажется равным 1,65 сантиметрам. Записываем ответ и не забываем о правильных единицах измерения.

Читайте также:  Нужна ли лицензия на вывоз снега 2020

Окружность и ее свойства

У каждой геометрической фигуры есть свои особенности. Именно от их понимания зависит правильность решения задач. Есть они и у окружности. Зачастую их используют при решении примеров с описанными или вписанными фигурами, поскольку они дают ясное представление о такой ситуации. Среди них:

  • Прямая может иметь ноль, одну или две точки пересечения с окружностью. В первом случае она с ней не пересекается, во втором является касательной, в третьем – секущей.
  • Если взять три точки, что не лежат на одной прямой, то через них можно привести только одну окружность.
  • Прямая может быть касательной сразу двух фигур. В этом случае она будет проходить через точку, которая лежит на отрезке, соединяющем центры окружностей. Его длина равна сумме радиусов данных фигур.
  • Через одну или две точки можно провести бесконечное количество окружностей.

Окружность считается вписанной в границы правильного многоугольника, в случае, если лежит внутри него, касаясь при этом прямых, которые проходят через все стороны. Рассмотрим, как найти центр и радиус окружности. Центром окружности будет являться точка, в которой пересекаются биссектрисы углов многоугольника. Радиус рассчитывается: R=S/P; S – площадь многоугольника, Р – полупериметр окружности.

В треугольнике

В правильный треугольник вписывают лишь одну окружность, центр которой называется инцентром; он от всех сторон удалён на одинаковое расстояние и является местом пересечения биссектрис.

В четырёхугольнике

Часто приходится решать, как найти радиус вписанной окружности в эту геометрическую фигуру. Она должна быть выпуклой (если нет самопересечений). Окружность вписать в неё можно только в случае равенства сумм противоположных сторон: AB+CD=BC+AD.

При этом центр вписанной окружности, середины диагоналей, расположены на одной прямой (согласно теореме Ньютона). Отрезок, концы которого находятся там, где пересекаются противоположные стороны правильного четырёхугольника, лежит на этой же прямой, называемой прямой Гаусса. Центром окружности будет точка, в которой пересекаются высоты треугольника с вершинами, диагоналями (по теореме Брокара).

В ромбе

Им считается параллелограмм с одинаковой длиной сторон. Радиус окружности, вписываемой в него, можно рассчитать несколькими способами.

  1. Чтобы сделать это правильно, найдите радиус вписанной окружности ромба, если известна площадь ромба, длина его стороны. Применяется формула r=S/(2Хa). К примеру, если площадь ромба составляет 200 мм кв., длина стороны 20 мм, то R=200/(2Х20), то есть, 5 мм.
  2. Известен острый угол одной из вершин. Тогда необходимо использовать формулоу r=v(S*sin(α)/4). Например, при площади в 150 мм и известном угле в 25 градусов, R= v(150*sin(25°)/4) ≈ v(150*0,423/4) ≈ v15,8625 ≈ 3,983 мм.
  3. Все углы в ромбе равны. В этой ситуации радиус окружности, вписанной в ромб, будет равен половине длины одной стороны данной фигуры. Если рассуждать по Евклиду, утверждающего, что сумма углов всякого четырёхугольника равна 360 градусов, то один угол будет равен 90 градусам; т.е. получится квадрат.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

  • В случае если необходимо – в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ – раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности – включая административные, технические и физические – для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

В этой статье популярно объяснено, как найти радиус окружности, вписанной в квадрат. Теоретический материал поможет вам разобраться во всех связанных с темой нюансах. Прочитав этот текст, вы с легкостью сможете решать подобные задачи в дальнейшем.

Базовая теория

Перед тем как перейти непосредственно к нахождению радиуса вписанной в квадрат окружности, стоит ознакомиться с некоторыми фундаментальными понятиями. Возможно, они могут показаться слишком простыми и очевидными, но они необходимы для понимания вопроса.

Квадрат – четырехугольник, все стороны которого равны между собой, а градусная мера всех углов составляет 90 градусов.

Окружность – двумерная замкнутая кривая, расположенная на определенном расстоянии от некоторой точки. Отрезок, один конец которого лежит в центре окружности, а второй – на любой ее поверхности, называется радиусом.

С терминами ознакомились, остался лишь главный вопрос. Нам нужно найти радиус окружности, вписанной в квадрат. Но что означает последняя фраза? Здесь тоже ничего сложного. Если все стороны некоторого многоугольника касаются кривой линии, то ее считают вписанной в этот многоугольник.

Радиус вписанной в квадрат окружности

С теоретическим материалом закончили. Теперь необходимо разобраться в том, как применить его на практике. Воспользуемся для этого рисунком.

Радиус, очевидно, перпендикулярен AB. Это значит, что в то же время он параллелен AD и BC. Грубо говоря, можно “наложить” его на сторону квадрата, чтобы далее определить длину. Как видно, ей будет соответствовать отрезок BK.

Один из его концов r лежит в центре окружности, которая является точкой пересечения диагоналей. Последние по одному из своих свойств делят друг друга пополам. Используя теорему Пифагора, можно доказать, что они также делят и сторону фигуры на две одинаковых части.

Принимая эти доводы, делаем вывод.

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Следовательно, он наследует все свойства параллелограмма. А именно:

  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
  • Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.

Окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность. Центр вписанной окружности совпадает с центром пересечения диагоналей ромба.
Радиус вписанной окружности в ромб можно выразить несколькими способами

Читайте также:  Штамп верно по новому госту

1 способ. Радиуса вписанной окружности в ромб через высоту

Высота ромба равна диаметру вписанной окружности. Это следует из свойства прямоугольника, который образуют диаметр вписанной окружности и высота ромба – у прямоугольника противолежащие стороны равны.

Следовательно формула радиуса вписанной окружности в ромб через высоту:

2 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через диагонали

Площадь ромба можно выразить через радиус вписанной окружности
, где Р – периметр ромба. Зная, что периметр это сумма всех сторон четырехугольника имеем P= 4×а. Тогда
Но площадь ромба также равна половине произведения его диагоналей
Прировняв правые части формул площади, имеем следующее равенство
В результате получаем формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной окружности в ромб чрез диагонали

Пример расчета радиуса окружности вписанной в ромб, если известны диагонали
Найти радиус окружности вписанной в ромб, если известно, что длина диагоналей 30 см и 40 см
Пусть ABCD -ромб, тогда AC и BD его диагонали. AC= 30 см, BD =40 см
Пусть точка О – это центр вписанной в ромб ABCD окружности, тогда она будет также являться и точкой пересечения его диагоналей, делящих их пополам.


т.к диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то треугольник AOB прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора
, подставляем в формулу ранее полученные значения

AB = 25 см
Применив ранее выведенную формулу для радиуса описанной окружности в ромб, получаем

3 способ. Радиус вписанной окружности в ромб через отрезки m и n

Точка F – точка касания окружности со стороной ромба, которая делит ее на отрезки AF и BF . Пусть AF= m, BF=n.
Точка O – центр пересечения диагоналей ромба и центр вписанной в него окружности.
Треугольник AOB – прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
, т.к. является радиусом, проведенным в точку касания окружности. Следовательно OF – высота треугольника AOB к гипотенузе. Тогда AF и BF – проекции катетов на гипотенузу.
Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через отрезки равна корню квадратному из произведения этих отрезков, на которые делит сторону ромба точка касания окружности

Как найти радиус окружности. Вписанная и описанная окружность

Радиус – это отрезок, который соединяет любую точку на окружности с ее центром. Это одна из самых важных характеристик данной фигуры, поскольку на ее основе можно вычислить все другие параметры. Если знать, как найти радиус окружности, то можно рассчитать ее диаметр, длину, а также площадь. В том случае, когда данная фигура вписана или описана вокруг другой, то можно решить еще целый ряд задач. Сегодня мы разберем основные формулы и особенности их применения.

Известные величины

Если знать, как найти радиус окружности, который обычно обозначают буквой R, то его можно вычислить по одной характеристике. К таким величинам относят:

  • длину окружности (C);
  • диаметр (D) – отрезок (вернее, хорда), который проходит через центральную точку;
  • площадь (S) – пространство, которое ограничено данной фигурой.

По длине окружности

Если в задаче известна величина C, то R = С / (2 * П). Эта формула является производной. Если мы знаем, что из себя представляет длина окружности, то ее уже не нужно запоминать. Предположим, что в задаче C = 20 м. Как найти радиус окружности в этом случае? Просто подставляем известную величину в вышеприведенную формулу. Отметим, что в таких задачах всегда подразумевается знание числа П. Для удобства расчетов примем его значение за 3,14. Решение в этом случае выглядит следующим образом: записываем, какие величины даны, выводим формулу и проводим вычисления. В ответе пишем, что радиус равен 20 / (2 * 3,14) = 3,19 м. Важно не забыть о том, что мы считали, и упомянуть название единиц измерения.

По диаметру

Сразу подчеркнем, что это самый простой вид задач, в которых спрашивается о том, как найти радиус окружности. Если такой пример попался вам на контрольной, то можете быть спокойны. Тут даже не нужен калькулятор! Как мы уже говорили, диаметр – это отрезок или, правильнее сказать, хорда, которая проходит через центр. При этом все точки окружности равноудалены. Поэтому данная хорда состоит из двух половинок. Каждая из них является радиусом, что следует из его определения как отрезка, который соединяет точку на окружности и ее центр. Если в задаче известен диаметр, то для нахождения радиуса нужно просто разделить эту величину на два. Формула выглядит следующим образом: R = D / 2. Например, если диаметр в задаче равен 10 м, то радиус – 5 метров.

По площади круга

Этот тип задач обычно называют самым сложным. Это связано в первую очередь с незнанием формулы. Если знать, как найти радиус окружности в этом случае, то остальное – дело техники. В калькуляторе только нужно заранее найти значок вычисления квадратного корня. Площадь круга – это произведение числа П и радиуса, умноженного на самого себя. Формула выглядит следующим образом: S = П * R 2 . Обособив радиус на одной из сторон уравнения, можно с легкость решить задачу. Он будет равен квадратному корню из частного от деления площади на число П. Если S = 10 м, то R = 1,78 метров. Как и в предыдущих задачах, важно не забыть об используемых единицах измерения.

Как найти радиус описанной окружности

Предположим, что a, b, c – это стороны треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус описанной вокруг него окружности. Для этого сначала нужно найти полупериметр треугольника. Чтобы было легче для восприятия, обозначим его маленькой буквой p. Он будет равен половине суммы сторон. Его формула: p = (a + b + c) / 2.

Также вычислим произведение длин сторон. Для удобства обозначим его буквой S. Формула радиуса описанной окружности будет выглядеть так: R = S / (4 * √(p * ( p – a ) * (p – b) * (p – c)).

Рассмотрим пример задачи. У нас есть окружность, описанная вокруг треугольника. Длины ее сторон составляют 5, 6 и 7 см. Сначала вычисляем полупериметр. В нашей задаче он будет равен 9 сантиметрам. Теперь вычислим произведение длин сторон – 210. Подставляем результаты промежуточных расчетов в формулу и узнаем результат. Радиус описанной окружности равен 3,57 сантиметра. Записываем ответ, не забывая о единицах измерения.

Как найти радиус вписанной окружности

Предположим, что a, b, c – длины сторон треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус вписанной в него окружности. Сначала нужно найти его полупериметр. Для облегчения понимания обозначим его маленькой буквой p. Формула его вычисления выглядит следующим образом: p = ( a + b + c) / 2. Этот тип задачи несколько проще, чем предыдущий, поэтому больше не нужно никаких промежуточных расчетов.

Радиус вписанной окружности вычисляется по следующей формуле: R = √((p – a) * (p – b) * (p – c) / p). Рассмотрим это на конкретном примере. Предположим, в задаче описан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. В него вписана окружность, радиус которой и нужно найти. Сначала находим полупериметр. В нашей задаче он будет равен 11 см. Теперь подставляем его в основную формулу. Радиус окажется равным 1,65 сантиметрам. Записываем ответ и не забываем о правильных единицах измерения.

Окружность и ее свойства

У каждой геометрической фигуры есть свои особенности. Именно от их понимания зависит правильность решения задач. Есть они и у окружности. Зачастую их используют при решении примеров с описанными или вписанными фигурами, поскольку они дают ясное представление о такой ситуации. Среди них:

  • Прямая может иметь ноль, одну или две точки пересечения с окружностью. В первом случае она с ней не пересекается, во втором является касательной, в третьем – секущей.
  • Если взять три точки, что не лежат на одной прямой, то через них можно привести только одну окружность.
  • Прямая может быть касательной сразу двух фигур. В этом случае она будет проходить через точку, которая лежит на отрезке, соединяющем центры окружностей. Его длина равна сумме радиусов данных фигур.
  • Через одну или две точки можно провести бесконечное количество окружностей.

Добавить комментарий