Найдите область значений функции где

Область значения функции – как найти и примеры решений

Общая информация

У каждой функции y = f (x) есть два типа переменных: зависимые и независимые. Переменная «х» является независимой, поскольку она может принимать любые значения, кроме тех, которые «превращают» функцию в пустое множество (этого необходимо избегать). Они бывают с одной или несколькими независимыми переменными. Необходимо выяснить все значения зависимой переменной.

Существует несколько методов решения задач такого типа. К ним относятся следующие способы: автоматизированный и ручной. Решение первым подразумевает использование специальных программных оболочек и web-приложений, позволяющих найти область значения функции. Онлайн-калькулятор с решением применяется для тех, кто выполняет большое количество вычислений или проверку вычислений.

В различных дисциплинах необходимо исследовать поведение функций. Например, при проектировании какого-либо программного продукта. Программисты занимаются поиском «багов», при которых происходит некорректная работа приложения. Если заданы недопустимые параметры независимой переменной, то произойдет ошибка. Это называется исключением, и его всегда следует обрабатывать. При проектировании различных устройств нужно также уметь находить область значения функции.

Основные понятия

Руководствуясь некоторыми данными, можно сделать вывод: областью значений некоторой функции называются все ее допустимые значения. Обозначается она буквой «E», т. е. E (f) или E (y). Когда y = f (x) является сложной (w = f (x, y, z)), тогда можно ее обозначить «E (w)».

Независимая переменная, принимающая некоторые значения, называется аргументом. Для конкретного случая существует определенный алгоритм. Можно сразу определить E (f), но в некоторых ситуациях нужно выполнить некоторые преобразования.

Например, нужно найти область значений квадратичной функции y = 3x 2 — 2x — 1. Следует записать уравнение 3x 2 — 2x — 1 = 0. Ордината вычисляется таким образом: y0 = -D / 4a = -[b 2 — 4ac] / 4a = -[(-2)^2 — 4 * 3 * (-1)] / (4 * 3) = -16 / 12 = -4/3. Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, E (y) = (-4/3;+бесконечность).

Специалисты-математики утверждают, что важным аспектом является определение типа функции. Следовательно, следует разобраться в их классификации. Для этого необходимо знать их графики и названия.

Типы функций

Перед тем, как найти все допустимые значения, нужно знать область значения некоторых элементарных функций. Для каждой из них существует свой промежуток:

  1. (-бесконечность;+бесконечность): y =kx + b, y = x^(2n+1), y = x^(1/(2n+1)), y = log (x) с основанием а, y = tg (x) и y = ctg (x).
  2. [0;+бесконечность): y = x^(2n), y = x^(1/(2n)) и y = a^x.
  3. (-бесконечность;0] U [0;+бесконечность) только для y = k / x (гипербола).
  4. [-1;1]: y = sin (x) и y = cos (x).
  5. [0;Pi]: y = arccos (x) и arcsin (x).
  6. [-Pi/2;Pi/2]: y = arctg (x) и arcsin (x).

Если функция является многочленом четной степени, то для нее существует интервал [m;+бесконечность). Значение «m» — наименьшее значение многочлена. На промежутке (-бесконечность;n) число n — наибольшее его значение.

Довольно сложной задачей считается нахождение области значений тригонометрических функций. Примером одной из них считается y = cos (2x) + 2cos (x). Кроме того, при нахождении E (f) необходимо руководствоваться не только табличными значениями. Этих данных мало, поскольку нужно также знать о свойствах некоторых функций и способы нахождения E.

Важные свойства

Для качественного исследования нужно знать свойства простых функций: монотонность, непрерывность, дифференцируемость, четность или нечетность, периодичность, область определения и значения. Среди свойств можно выделить несколько основных:

  1. В случае, когда функция f (x) является непрерывной, и наблюдается ее возрастание или убывание на отрезке [a;b], то множество значений — интервал [f (a);f (b)].
  2. Если y = f (x) обладает непрерывностью на промежутке [a;b], и существует некоторое минимальное m и максимальное М ее значения, то множеством ее значений является интервал [m;M].
  3. При непрерывности и дифференцируемости функции на промежутке [a;b], она имеет минимальное и максимальное значения на данном промежутке.

Последние два свойства применяются для непрерывных функций. Простое решение позволяет получить первое свойство. При этом очень важно доказать ее монотонность. Задача существенно упрощается, когда удается доказать четность или нечетность функции, а также ее периодичность. По необходимости следует проверять и использовать некоторые ее свойства: непрерывность (при разрыве нужно определить его точку или интервал), монотонность, дифференцируемость, периодичность, четность или нечетность и т. д.

Методы нахождения

Существует много способов нахождения области значений. Однако для решения задач нужно подбирать оптимальный метод, поскольку следует избегать лишних вычислений. Например, если функция является простой, то нет необходимости применять сложные алгоритмы решения. К методам нахождения относятся следующие:

  1. Отдельное нахождение значений элементов сложной функции.
  2. Оценочный.
  3. Учет непрерывности и монотонности.
  4. Взятие производной.
  5. Использование max и min функции.

Для каждого из методов существует определенный алгоритм. Хотя встречаются случаи, когда целесообразно применить два простых метода. Нужно руководствоваться минимальным количеством вычислений и затраченным временем.

Для каждого элемента

Иногда в задачах следует найти E (f) при условии, когда функция является сложной. Очень распространенная методика разбиения задачи на подзадачи, которая применяется не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но в экономике, бизнесе и других направлениях. Решение с помощью метода последовательного нахождения E (f) каждой из функций. Алгоритм имеет такой вид:

  1. Выполнить необходимые преобразования — упростить выражение.
  2. Разбить выражение на элементы.
  3. Выполнить поиск E (f) для каждого элемента.
  4. Произвести замену.
  5. Анализ.
  6. Результат решения.

Однако довольно сложно ориентировать по данному алгоритму, поскольку нужно разобрать решение примера с его помощью. Дана функция y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x). Решается задача таким образом:

  1. Упростить (выделить квадрат): y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x) = log0.5 [5 — (1 — 2 * 3^x — 9^x)] = log0.5 [5 — (3^x + 1)].
  2. Разбить на элементарные функции: y = 3^x, y = 3^x + 1, y = [-(3^x + 1)]^2 и y = [5 — (3^x + 1)]^2.
  3. Определить для каждого элемента E (f): E (3^x) = (0;+бесконечность), E (3^x + 1) = (1;+бесконечность), E ([-(3^x + 1)]^2) = (-бесконечность;-1) и E ([5 — (3^x + 1)]^2) = (-бесконечность;4).
  4. Произвести замену: t = 5 — (3^x + 1)]^2 (-бесконечность 0, то она стремится к бесконечности. Когда t = 4, ее значение равно -2.
  5. Результат решения — искомый интервал: E (f) = (-2;+бесконечность).

Необходимо обратить внимание на пункты 1, 3 и 5. Они являются очень важными, поскольку от них зависит правильность решения. Очень важно уметь анализировать полученную функцию в 4 пункте.

Оценочный способ

Еще одним методом определения E (f) является способ оценки. Необходимо оценить непрерывную функцию в нижнем и верхнем направлениях. Еще следует доказать достижение нижней и верхней границ. Для этой цели существует также алгоритм. Он немного проще предыдущего. Суть его заключается в следующем:

  1. Доказать непрерывность.
  2. Составить неравенство или неравенства для нескольких функций.
  3. Узнать оценку.
  4. Записать интервал.

Необходимо разобрать алгоритм на примере функции y = cos (7x) + 5 * cos (x). Следует учитывать, что известен только один знак неравенства. Второй нужно доказать оценочным методом. Решение задачи имеет такой вид:

  1. Функция вида y = cos (x) является непрерывной.
  2. Неравенства: -1 2 + 2 * t — 1 = 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5.
  3. Показательная функция является параболой. Она монотонна, непрерывна и имеет вершину по оси ОУ -1,5. Промежуток, который рассматривается — [-1;1], поскольку E (cos (x)) = [-1;1].
  4. Минимальное значение равно -1,5, так как ветви направлены вверх. Максимальное на промежутке [-1;1] – MAX (y) = 3. Для его нахождения нужно построить график параболы y = 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5.
  5. Искомый интервал — E (cos (2x) + 2cos (x)) = [-1,5;3].

Чтобы построить график параболы, нужно найти ее вершину и точки пересечения с осью абсцисс. Последние находятся при решении уравнения 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5 = 0. Однако существует способ намного проще. Для этого следует привести выражение к виду 2 * (t + 0,5)^2 = 1,5. Отсюда t = – 0,5. Следовательно, координаты вершины — (-0,5;-1,5). Корни уравнения при его решении: t1 = -[(1 + (3)^0.5)] / 2 и t2 = -[(1 — (3)^0.5)] / 2.

Производная, min и max

Одним из простейших способов нахождения E (f) является взятие производной функции. Этот метод можно комбинировать с определением максимального и минимального значений. Математики рекомендуют простейший алгоритм:

  1. Найти производную.
  2. Анализ.
  3. Указать MAX (f) и MIN (f).
  4. Запись интервала в формате (MIN (f);MAX (f)).

Практическое применение алгоритма — решение задачи этим методом. Например, нужно найти E (arcsin (x)). Решение выполняется по нескольким этапам:

  1. Производная: y’ = [arcsin (x)]’ = 1 / [(1 — x 2 )^0.5].
  2. Функция возрастает на интервале (-1;1).
  3. Минимум и максимум на отрезке (-1;1): MIN (arcsin (-1)) = -Pi/2 MAX (arcsin (1)) = Pi/2.
  4. Интервал: E (arcsin (x)) = [-Pi/2;Pi/2].

В некоторых случаях рекомендуется вычислять пределы, поскольку часть задач решается только с их применением. Существует определенный тип задач, в которых нужно доказать, что отрезок является E (f) конкретной функции. Например, следует выяснить принадлежность [-1;1] функции sin (x). Для этого необходимо воспользоваться вышеописанным алгоритмом:

  1. Производная: y’ = [sin (x)]’ = cos (x).
  2. Период функции равен 2Pi. Следует взять отрезок [0;2Pi]. Для нахождения множества значений на нем нужно приравнять производную функции к 0, т. е. cos (x) = 0. Найти х = Pi/2 + Pi * к, где «к» принадлежит Z. Точки экстремума равны Pi/2 и 3Pi/2.
  3. Минимум и максимум на отрезке [0;2Pi): MIN ([sin (3Pi/2)]) = -1 и MAX ([sin (3Pi/2)]) = 1.
  4. E (sin (x)) = [-1;1].

Отрезок [-1;1] является E (sin (x)). Оптимальный метод — нахождение производной и определение E (f). В этом примере необходимо знать и проверить периодичность.

Таким образом, существует несколько способов нахождения E (f), но всегда необходимо выбирать метод, приводящий к минимуму вычислений. Нет смысла усложнять решение, поскольку большинство алгоритмов направлены на оптимизацию вычислений.

Читайте также:  Срок проведения внеплановой проверки

Область значения функций в задачах ЕГЭ

Разделы: Математика

Понятие функции и всё, что с ним связано, относится к традиционно сложным, не до конца понятым. Особым камнем преткновения при изучении функции и подготовке к ЕГЭ являются область определения и область значений (изменения) функции.
Нередко учащиеся не видят разницы между областью определения функции и областью её значений.
И если задачи на нахождение области определения функции учащимся удаётся освоить, то задачи на нахождение множества значений функции вызывают у них немалые затруднения.
Цель данной статьи: ознакомление с методами нахождения значений функции.
В результате рассмотрения данной темы был изучен теоретический материал, рассмотрены способы решения задач на нахождение множеств значений функции, подобран дидактический материал для самостоятельной работы учащихся.
Данная статья может быть использована учителем при подготовке учащихся к выпускным и вступительным экзаменам, при изучении темы “Область значения функции” на факультативных занятиях элективных курсах по математике.

I. Определение области значений функции.

Областью (множеством) значений E(у) функции y = f(x) называется множество таких чисел y, для каждого из которых найдётся такое число x, что: f(x) = y.

Напомним области значений основных элементарных функций.

ФункцияМножество значений
y = kx+ bE(y) = (-∞;+∞)
y = x 2nE(y) = [0;+∞)
y = x 2n +1E(y) = (-∞;+∞)
y = k/xE(y) = (-∞;0)u(0;+∞)
y = x 1/2nE(y) = [0;+∞)
y = x 1/2n+1E(y) = (-∞;+∞)
y = a xE(y) = (0;+∞)
y = logaxE(y) = (-∞;+∞)
y = sin xE(y) = [-1;1]
y = cos xE(y) = [-1;1]
y = tg xE(y) = (-∞;+∞)
y = ctg xE(y) = (-∞;+∞)
y = arcsin xE(y) = [-π/2 ; π/2]
y = arcos xE(y) = [0; π]
y = arctg xE(y) = (-π/2 ; π/2)
y = arcctg xE(y) = (0; π)

Заметим также, что областью значения всякого многочлена чётной степени является промежуток [m;+∞) , где m – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток

(-∞;n] , где n – наибольшее значение этого многочлена.

II. Свойства функций, используемые при нахождении области значений функции

Для успешного нахождения множества значений функции надо хорошо знать свойства основных элементарных функций, особенно их области определения, области значений и характер монотонности. Приведём свойства непрерывных, монотонных дифференцируемых функций, наиболее часто используемые при нахождении множества значений функций.

  1. Если функция f(x) непрерывна и возрастает на отрезке [a;b], то множество значений функции на этом отрезке есть отрезок [f(a),f(b)]. При этом каждое значение А [f(a),f(b)] функция принимает ровно при одном значении x принадлежит [a,b], т.е уравнение f(x) = А имеет единственный корень на отрезке [a,b]. Если же f(x) – непрерывная и убывающая на отрезке [a,b] функция, то её множество значений на [a,b] есть отрезок [f(a),f(b)].
  2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и m = min f(x), M = max f(x) – её наименьшее и наибольшее значение на этом отрезке, то множество значений f(x) на [a,b] есть отрезок [m;M].
  3. Если функция непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема (имеет производную) в интервале (a,b), то наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a,b] существуют и достигаются либо на концах отрезка, либо в критических точках функции, расположенных на отрезке

Свойства 2 и 3, как правило, используются вместе свойством элементарной функции быть непрерывной в своей области определения. При этом наиболее простое и краткое решение задачи на нахождение множества значений функции достигается на основании свойства 1, если несложными методами удаётся определить монотонность функции. Решение задачи ещё упрощается, если функция, вдобавок, – чётная или нечётная, периодическая и т.д. Таким образом, при решении задач на нахождение множеств значений функции следует по мере надобности проверять и использовать следующие свойства функции:

  • непрерывность;
  • монотонность;
  • дифференцируемость;
  • чётность, нечётность, периодичность и т.д.

Несложные задачи на нахождение множества значений функции в большинстве своём ориентированны:

а) на использование простейших оценок и ограничений: (2 х >0, -1≤sinx?1, 0≤cos 2 x?1 и т.д.);

б) на выделение полного квадрата: х 2 – 4х + 7 = (х – 2) 2 + 3;

в) на преобразование тригонометрических выражений: 2sin 2 x – 3cos 2 x + 4 = 5sin 2 x +1;

г) использование монотонности функции x 1/3 + 2 x-1 возрастает на R.

III. Рассмотрим способы нахождения областей значений функций.

а) последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
б) метод оценок;
в) использование свойств непрерывности и монотонности функции;
г) использование производной;
д) использование наибольшего и наименьшего значений функции;
е) графический метод;
ж) метод введения параметра;
з) метод обратной функции.

Раскроем суть этих методов на конкретных примерах.

Пример 1. Найдите область значений E(y) функции y = log0,5(4 – 2·3 x – 9 x ).

Решим этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию

y = log0,5(5 – (1 + 2·3 x – 3 2x )) = log0,5(5 – (3 x + 1) 2 )

И последовательно найдём множества значений её сложных аргументов:

E(3 x ) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2 ) = (-∞;4)

Обозначим t = 5 – (3 x +1) 2 , где -∞≤t≤4. Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функции y = log0,5t на луче (-∞;4). Так как функция y = log0,5t определена лишь при, то её множество значений на луче (-∞;4) совпадает со множеством значений функции на интервале (0;4), представляющем собой пересечение луча (-∞;4) с областью определения (0;+∞) логарифмической функции. На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. При t > 0 она стремится к +∞, а при t = 4 принимает значение -2, поэтому E(y) = (-2, +∞).

Пример 2. Найдите область значений функции

y = cos7x + 5cosx

Решим этот пример методом оценок, суть которого состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.

Из неравенств -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 получим оценку -6≤y?6. При x = р и x = 0 функция принимает значения -6 и 6, т.е. достигает нижней и верхней границы оценки. Как линейная комбинация непрерывных функций cos7x и cosx, функция y непрерывна на всей числовой оси, поэтому по свойству непрерывной функции она принимает все значения с -6 до 6 включительно, и только их, так как в силу неравенств -6≤y?6 другие значения у неё невозможны. Следовательно, E(y) = [-6;6].

Пример 3. Найдите область значений E(f) функции f(x) = cos2x + 2cosx.

По формуле косинуса двойного угла преобразуем функция f(x) = 2cos 2 x + 2cosx – 1 и обозначим t = cosx. Тогда f(x) = 2t 2 + 2t – 1. Так как E(cosx) =

[-1;1], то область значений функции f(x) совпадает со множеством значений функции g(t) = 2t 2 + 2t – 1 на отрезке [-1;1], которое найдём графическим методом. Построив график функции y = 2t 2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5) 2 – 1,5 на промежутке [-1;1], находим E(f) = [-1,5; 3].

Замечание – к нахождению множества значений функции сводятся многие задачи с параметром, связанные, в основном, с разрешимостью и числом решений уравнения и неравенств. Например, уравнение f(x) = а разрешимо тогда и только тогда, когда

a E(f) Аналогично, уравнение f(x) = а имеет хотя бы один корень, расположенный на некотором промежутке Х, или не имеет ни одного корня на этом промежутке тогда и только тогда, когда а принадлежит или не принадлежит множеству значений функции f(x) на промежутке Х. Также исследуются с привлечением множества значений функции и неравенства f(x)≠ а, f(x)>а и т.д. В частности, f(x)≠ а для всех допустимых значений х, если a E(f)

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение (x + 5) 1/2 = a(x 2 + 4) имеет единственный корень на отрезке [-4;-1].

Запишем уравнение в виде (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a . Последнее уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [-4;-1] тогда и только тогда, когда а принадлежит множеству значений функции f(x) = (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) на отрезке [-4;-1]. Найдём это множество, используя свойство непрерывности и монотонности функции.

На отрезке [-4;-1] функция y = xІ + 4 непрерывна, убывает и положительна, поэтому функция g(x) = 1/(x 2 + 4) непрерывна и возрастает на этом отрезке, так как при делении на положительную функцию характер монотонности функции меняется на противоположный. Функция h(x) = (x + 5) 1/2 непрерывна и возрастает в своей области определения D(h) = [-5;+∞) и, в частности на отрезке [-4;-1], где она, кроме того, положительна. Тогда функция f(x)=g(x)·h(x), как произведение двух непрерывных, возрастающих и положительных функций, также непрерывна и возрастает на отрезке [-4;-1], поэтому её множество значений на [-4;-1] есть отрезок [f(-4); f(-1)] = [0,05; 0,4]. Следовательно, уравнение имеет решение на отрезке [-4;-1], причём единственное (по свойству непрерывной монотонной функции), при 0,05 ≤ a ≤ 0,4

Замечание. Разрешимость уравнения f(x) = a на некотором промежутке Х равносильна принадлежности значений параметра а множеству значений функции f(x) на Х. Следовательно, множество значений функции f(x) на промежутке Х совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнение f(x) = a имеет хотя бы один корень на промежутке Х. В частности, область значений E(f) функции f(x)совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнение f(x) = a имеет хотя бы один корень.

Пример 5. Найдите область значений E(f) функции

Решим пример методом введения параметра, согласно которому E(f) совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнение

Читайте также:  В какую страну проще получить шенгенскую визу

имеет хотя бы один корень.

При а=2 уравнение является линейным – 4х – 5 = 0 с ненулевым коэффициентом при неизвестной х , поэтому имеет решение. При а≠2 уравнение является квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только тогда, когда его дискриминант

Так как точка а = 2 принадлежит отрезку

то искомым множеством значений параметра а, значит, и областью значений E(f) будет весь отрезок.

Как непосредственное развитие метода введения параметра при нахождении множества значений функции, можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решить относительно х уравнение f(x)= y, считая y параметром. Если это уравнение имеет единственное решение x =g(y), то область значений E(f) исходной функции f(x) совпадает с областью определения D(g) обратной функции g(y). Если же уравнение f(x)= y имеет несколько решений x =g1(y), x =g2(y) и т.д., то E(f) равна объединению областей определений функции g1(y), g2(y) и т.д.

Пример 6. Найдите область значений E(y) функции y = 5 2/(1-3x).

найдём обратную функцию x = log3((log5y – 2)/(log5y)) и её область определения D(x):

Так как уравнения относительно х имеет единственное решение, то

E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+ ∞ ).

Если область определения функции состоит из нескольких промежутков или функция на разных промежутках задана разными формулами, то для нахождения области значений функции надо найти множества значений функции на каждом промежутке и взять их объединение.

Пример 7. Найдите области значений f(x) и f(f(x)), где

Найдём сначала множество значений функции f(x) на луче (-∞;1], где она совпадает с выражением 4 x + 9·4 -x + 3. Обозначим t = 4 x . Тогда f(x) = t + 9/t + 3, где 0 2 . На промежутке (0;4] производная g’(t) определена и обращается там в нуль при t = 3. При 0 1 функция f(x) совпадает с выражением 2cos(x-1) 1/2 + 7. Квадратный корень (x-1) 1/2 при x > 1 определён и принимает все положительные значения, поэтому cos(x-1) 1/2 принимает все значения от -1 до 1 включительно, а выражение 2cos(x-1) 1/2 + 7 принимает все значения от 5 до 9 включительно. Следовательно, множеством значений функции f(x) на луче (1;+∞) будет отрезок [5;9].

Теперь, объединив промежутки [9;+∞) и [5;9] – множества значений функции f(f(x)), обозначим t = f(x). Тогда f(f(x)) = f(t), где При указанных t функция f(t) = 2cos(x-1) 1/2 + 7 и она снова принимает все значения от 5 до 9 включительно, т.е. область значений E(fІ) = E(f(f(x))) = [5;9].

Аналогично, обозначив z = f(f(x)), можно найти область значений E(f 3 ) функции f(f(f(x))) = f(z), где 5 ≤ z ≤ 9 и т.д. Убедитесь, что E(f 3 ) = [2cos8 1/2 + 7; 2cos2 + 7].

Наиболее универсальным методом нахождения множества значений функции является использование наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке.

Пример 8. При каких значениях параметра р неравенcтво 8 x –р ≠ 2 x+1 – 2 x выполняется для всех -1 ≤ x x , запишем неравенство в виде р ≠ t 3 – 2t 2 + t. Так как t = 2 x – непрерывная возрастающая функция на R, то при -1 ≤ x -1 ≤ t 2 ↔

0,5 ≤ t 3 – 2t 2 + t при 0,5 ≤ t 2 – 4t + 1. Следовательно, f(t) дифференцируема, значит, и непрерывна на отрезке [0,5;4]. Из уравнения f’(t) = 0 найдём критические точки функции t = 1/3, t = 1, первая из которых не принадлежит отрезку [0,5;4], а вторая принадлежит ему. Так как f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, то, по свойству дифференцируемой функции, 0 – наименьшее, а 36 – наибольшее значение функции f(t) на отрезке [0,5;4]. Тогда f(t), как непрерывная функция, принимает на отрезке [0,5;4] все значения от 0 до 36 включительно, причём значение 36 принимает только при t = 4, поэтому при 0,5 ≤ t

Данная тема имеет практическое значение. В школьном курсе математики изучается тема “Область значения функции”. Такие задачи обязательно содержатся в заданиях различных математических тестов, в частности в заданиях единого государственного экзамена.
Результаты работы можно использовать на уроках и дополнительных занятиях при подготовке учащихся выпускным и вступительным экзаменам, при самостоятельной подготовке учащихся по данной теме.

  1. Сильвестров В.В. Множество значений функции: Учебное пособие.– Чебоксары, 2004.
  2. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами.– Минск, 1996.
  3. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. – Москва – Харьков, 1998.
  4. Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие. 4-е изд., доп., перераб. – М., 2006.
  5. Сильвестров В.В. Неравенства с параметром на едином государственном экзамене // Математика для школьников. 2008. № 2.

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Математика:

Контакты

Содержание

Нахождение множества значений функции

Обозначения

Способы нахождения областей значений функций.

Рассмотрим некоторые из них.

Используя производную

Общий подход к нахождению множества значений непрерывной функции f(x) заключается в нахождении наибольшего и наименьшего значения функции f(x) в области ее определения (или в доказательстве того, что одно из них или оба не существуют).

В случае, если нужно найти множества значений функции на отрезке:

Если областью определения функции является интервал, то используется та же схема, но вместо значений на концах используются пределы функции при стремлении аргумента к концам интервала. Значения пределов из не входят в множество значений.

Метод границ/оценок

Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, а затем отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Используя неравенства – определяют границы.

Суть состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.

Свойства непрерывной функции

Другой вариант заключается в преобразовании функции в непрерывную монотонную, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.

Последовательное нахождение значений сложных аргументов функции

Основан на последовательном отыскании множества значений промежуточных функций, из которых составлена функция

Области значений основных элементарных функций

ФункцияМножество значений
$y = kx+ b$E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^<2n>$E(y) = [0;+∞)
$y = x^<2n +1>$E(y) = (-∞;+∞)
$y = k/x$E(y) = (-∞;0)u(0;+∞)
$y = x^<2n>>$E(y) = [0;+∞)
$y = x^<2n+1>>$E(y) = (-∞;+∞)
$y = a^$E(y) = (0;+∞)
$y = log_$E(y) = (-∞;+∞)
$y = sin$E(y) = [-1;1]
$y = cos$E(y) = [-1;1]
$y = , x$E(y) = (-∞;+∞)
$y = , x$E(y) = (-∞;+∞)
$y = arcsin$E(y) = [-π/2; π/2]
$y = arccos$E(y) = [0; π]
$y = , x$E(y) = (-π/2; π/2)
$y = , x$E(y) = (0; π)

Примеры

Найдите множество значений функции:

Используя производную

Находим область определения: D(f)=[-3;3], т.к. $9-x^<2>geq 0$

f'(x) = 0, если x = 0. f'(x) не существует, если $sqrt<9-x^<2>>=0$ то есть при x = ±3. Получаем три критические точки: x1 = –3, x2 = 0, x3 = 3, две из которых совпадают с концами отрезка. Вычислим: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Таким образом, наименьшее значение f(x) равно 0, наибольшее значение равно 3.

НЕ используя производную

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

Если решать эту задачу с помощью производных, то потребуется преодолевать препятствия, связанные с тем, что функция f(x) определена не на отрезке, а на всей числовой прямой.

Используя метод границ/оценок

Из определения синуса следует, $-1leqsinleq 1$. Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

$-4leq – 4sinleq 4$, (умножили все три части двойного неравенства на -4);

$1leq 5 – 4sinleq 9$ (прибавили к трем частям двойного неравенства 5);

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют.

В данном случае множество значений функции $y = 5 – 4sin$ есть множество [1; 9].

Из неравенств $$ \ -1leqcos<7x>leq 1 \ -5leq 5cosleq 5 $$ получим оценку $$\ -6leq yleq 6$$

При x = р и x = 0 функция принимает значения -6 и 6, т.е. достигает нижней и верхней границы оценки. Как линейная комбинация непрерывных функций cos(7x) и cos(x), функция y непрерывна на всей числовой оси, поэтому по свойству непрерывной функции она принимает все значения с -6 до 6 включительно, и только их, так как в силу неравенств $-6leq yleq 6$ другие значения у неё невозможны.

Следовательно, E(y) = [-6;6].

$$ \ -1leqsinleq 1 \ 0leqsin^<2>leq 1 \ 0leq2sin^<2>leq 2 \ 1leq1+2sin^<2>leq 3 $$ Ответ: E(f) = [1; 3].

$$ \ -infty 2 (x): $$\ f^<2>(x)=4+2sqrt<4-x^<2>>$$ Проведя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим, что E(f 2 ) = [4; 8].

Тогда $E(f) = [2;2sqrt<2>]$ (здесь учтено, что f > 0).

Преобразуем выражение $$ \ sin + cos = sin + sin(frac <2>– x) = \ 2sinleft ( <2>– x><2>> right )cosleft ( <2>+ x><2>> right ) \ = 2sin(frac<4>)cos(x +frac<4>) = sqrt<2>cos(x +frac<4>) $$.

Из определения косинуса следует $$ \ -1leqcosleq 1; \ -1leq cos<(x + frac<4>)>leq 1; \ -sqrt<2>leq sqrt<2>cos<(x +frac<4>)>leqsqrt<2>; $$

Так какданная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением, если таковые существуют, множество значений функции $y =sqrt<2>cos(<4>>)$ есть множество $[-sqrt<2>;sqrt<2>]$.

Множество значений функции $y = sin + cos$ есть множество чисел $[-sqrt<2>;sqrt<2>]$.

Используя непрерывную функцию

Найдем область определения данной функции. $$ \ 10х – х^ <2>-25geq 0; \ -(х – 5)^<2>geq 0; \ (х – 5)^<2>geq 0; $$ Откуда х = 5. Таким образом область определения данной функции состоит из одного числа, следовательно, множество значений функции состоит из одного числа и Е(у) = <11>.

Решим этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию

И последовательно найдём множества значений её сложных аргументов:

Обозначим $t = 5 – (3^+1)^<2>$, где -∞≤t≤4. Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функции $y = log_<0,5>$ на луче (-∞;4). Так как функция $y = log_<0,5>$ определена лишь при t > 0 , то её множество значений на луче (-∞;4) совпадает со множеством значений функции на интервале (0;4), представляющем собой пересечение луча (-∞;4) с областью определения (0;+∞) логарифмической функции. На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. При t > 0 она стремится к +∞, а при t = 4 принимает значение -2, поэтому E(y) = (-2, +∞).

Используем прием, основанный на графическом изображении функции.

После преобразований функции, имеем: y 2 + x 2 = 25, причем y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Следует напомнить, что $x^<2>+y^<2>=r^<2>$ – уравнение окружности радиуса r.

При этих ограничениях графиком данного уравнения является верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5. Очевидно, что E(y) = [0; 5].

Понятие функции. Область определения функции.
Множество значений функции

Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции
Примеры решения задач

Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции

Определение . Пусть X – некоторое множество чисел. Говорят, что на множестве X задана числовая функция , если указано правило, с помощью которого каждому числу x из множества X ставится в соответствие некоторое число.

Это принято обозначать так:

причем в этой записи x называют аргументом функции или независимой переменной, а y называют значением функции, соответствующим аргументу x .

Множество X называют областью определения функции f и обозначают D ( f ) . Множество Y всех возможных значений функции y = f (x) называют множеством значений функции f и обозначают E ( f ) (рис. 1).

Примеры решения задач

Часто в задачах известна формула, задающая функцию f , и требуется найти наиболее широкое множество чисел, к которым данную формулу можно применить. В этом случае указанная задача формулируется так: «Найти область определения функции y = f (x) ». В некоторых задачах требуется найти не только область опредения функции, но и множество ее значений.

Задача 1 . Найти область определения функции

Решение . Указанная функцию представляет собой результат, полученный при делении числа x 4 на число (3 + x) . Поскольку единственным ограничением является запрет деления на число 0 , то число (3 + x) не может равняться 0 , то есть .

Ответ . .

Задача 2 . Найти область определения функции

Решение . Поскольку квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, то область определения данной функции задается неравенством

которое эквивалентно неравенству

и может быть записано в виде

.

Решая это неравенство с помощью метода интервалов, получим

Ответ . .

Задача 3 . Найти область определения функции

Решение . Исходя из определений логарифма и квадратного корня, область определения данной функции задается следующей системой неравенств

(1)

Решая второе неравенство системы с помощью метода интервалов,

Таким образом, система (1) эквивалентна системе

Решением этой системы является интервал

Ответ . .

Задача 4 . Найти множество значений функции

Поскольку множеством значений функции y = sin (x + φ) является отрезок [–1, 1], то множеством значений функции y = 5 sin (x +φ) будет отрезок [–5, 5].

Ответ . .

Задача 5 . Найти множество значений функции

и для каждого числа существуют решения уравнения

то множеством значений функции y = x 2 + 6x + 8 будет множество .

Ответ . .

Функция. Область определения и область значений функции

Урок 1. Алгебра 9 класс

Конспект урока “Функция. Область определения и область значений функции”

Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение y, называют функцией.

В определении сказано, что только та зависимость является функцией, у которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции.

Рассмотрим первый график. Видим, что одному значению x может соответствовать несколько значений y. Значит, данная зависимость не является функцией.

Обратимся ко второму случаю. Какие бы значения аргумента мы не брали, каждому из них соответствует только одно значение функции. Можно сказать, что эта зависимость является функцией.

В общем виде любую функцию можно записать так:

Понятно, что функция может принимать различные значения в зависимости от значения аргумента. Найдём значение каждой функции при заданном значении аргумента.

Вы заметили, что в этом задании функции названы разными буквами. Действительно, функцию можно называть любой буквой латинского алфавита.

Ранее вами были изучены несколько важных функций. Вспомним их.

Сейчас попробуем выяснить, как же получается график функции, и дадим определение этому понятию.

Можно записать её в таком виде:

Это линейная функция, графиком как вы помните, является прямая. Для изображения прямой достаточно двух точек.

Получаем точки с координатами (1;3) и (-1;-11).

Проведём прямую через полученные точки.

Мы изобразили график функции.

Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — значениям функции, называют графиком функции.

Все значения аргумента, т.е. переменной x образуют область определения функции, а все значения зависимой переменной, т.е. y, — область значений функции.

В данном случае x и y могут быть любыми числами, т.е. областью определения и областью значений является множество всех действительных чисел.

Потренируемся находить область определения и область значений функции по её графику.

Область определения можно находить не только по графику функции, но и по формуле, с помощью которой задана функция.

Функция. Область определения и область значений функции. Графики функции

Функция y=f(x) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .

Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x .

Область значений функции E(f) — множество всех допустимых значений переменной y .

График функции y=f(x) — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек, вида M (x; f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.

Содержание

Графики элементарных функций

Линейная функция

Линейная функция — это функция вида y=kx+b , где k и b некоторые действительные числа.

Если b=0 , то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью.

D(f) : x in R;enspace E(f) : y in R

График линейной функции — прямая.

Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:

k= tg alpha , где alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox .

1) Функция монотонно возрастает при k > 0 .

2) Функция монотонно убывает при k .

3) Если k=0 , то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox .

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называется функция вида y=frac , где k — отличное от нуля, действительное число

Графиком функции y=frac является гипербола.

1) Если k > 0 , то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.

2) Если k , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Степенная функция

Степенная функция — это функция вида y=x^n , где n — отличное от нуля, действительное число

1) Если n=2 , то y=x^2 . D(f) : x in R; : E(f) : y in [0; +infty) .

Графиком функции y=x^2 является парабола.

2) Если n=3 , то y=x^3 . D(f) : x in R; : E(f) : y in R .

Графиком функции y=x^3 является кубическая парабола.

3) Если n=frac<1> <2>, то y=x^tfrac<1> <2>или y=sqrt . D(f) : x in [0; +infty ); : E(f) : y in [0; +infty )

4) Если n=frac<1> <3>, то y=x^tfrac<1> <3>или y=sqrt[3] . D(f) : x in R; : E(f) : y in R

Показательная функция

Показательная функция — это функция вида y=a^x , где a=const, a > 0, a neq 1

D(f) : x in R; : E(f) : y in (0; +infty ) .

Графиком показательной функции является экспонента.

1) Функция будет монотонно возрастать при a > 1 .

2) Функция монотонно убывает при 0 .

Например: y=left (frac<1> <2>right )^

Логарифмическая функция

Логарифмическая функция — это функция вида y=log_x , где a — действительное число, a > 0, : a neq 1

D(f) : x in (0; +infty ); : E(f) : y in R .

1) Функция монотонно возрастает при a > 1 .

2) Функция будет монотонно убывать при 0 .

Тригонометрическая функция

К тригонометрическим функциям относят функции вида:

1) y=sin x . D(f) : x in R; : E(f) : y in [-1; 1] ; основной период функции T=2 pi

2) y = cos x . D(f) : x in R; : E(f) : y in [-1; 1] ; основной период функции T=2 pi

3) y = tg x . D(f) : x in left < R /x neq frac<2>+pi nright >, n in mathbb; : E(f) : y in R ; основной период функции T= pi

4) y = ctg x . D(f) : x in left < R /x neq 0+pi nright >, n in mathbb; : E(f) : y in R ; основной период функции T= pi

Обратные тригонометрические функции

К обратным тригонометрическим функциям относят функции вида:

1) y=arcsin x . D(f) : x in [-1; 1], : E(f) : y in left [ -frac<2>; frac <2>right ]

2) y=arccos x . D(f) : x in [-1; 1], : E(f) : y in [0; pi]

3) y=arctg x . D(f) : x in R, : E(f) : y in left (-frac<2>; frac <2>right )

4) y= arcctg x . D(f) : x in R, : E(f) : y in left (0; pi right )

Добавить комментарий